斯派基的故事

Wolfram's Spikey logo—a flattened rhombic hexecontahedron

到处都是小穗

我们称之为“斯皮基“and in my life today,到处都是:

金宝博188正网Stephen Wolfram surrounded by Spikeys

它来自一个三维物体——一个称为菱形六十面体

3D rhombic hexecontahedron

但它的故事是什么,我们是如何把它作为我们的象征的呢?

小穗的起源

回到1987,当我们开发第一个版本属于数学软件,我们的创新之一是能够独立生成解决方案3D graphicsfrom符号化描述.在我们早期的演示中,这样我们就可以创造出柏拉图立体.但当我们接近Mathematica 1.0的发行时,我们想要一个更令人印象深刻的例子。所以我们决定把柏拉图的最后一个固体小精灵—and then make something more complex by a certain amount of星点(or,更正确地说,累积)(Yes,原来是这样的笔记本界面看起来,30年前……)

Spikey's birth in a Mathematica notebook,as a stellated icosahedron

起初,这只是一个不错的演示,在我们当时使用的计算机上运行得足够快。但很快,它生成的3D对象就开始成为事实上的Mathematica标志。到1988年Mathematica1.0发布时,星光二十面体无处不在:

Mathematica 1及其尖峰标志框,磁盘和原始Macintosh启动屏幕

及时,tributes to our particular stellation started appearing—in various materials and sizes:

Wolfram's original Spikey as built by others—here from paper,木材与金属

但在我们发布Mathematica1.0一年后,我们正准备释放Mathematica 1.2,为了传达它更为复杂的一面,我们想要一个更复杂的标志。我们的一个开发人员,伊格尔·里文,在双曲空间完成了多面体博士学位,并通过他的努力双曲二十面体adorned our Version 1.2 materials:

Mathematica 1.2及其尖峰,双曲二十面体

我的员工给了我一件最新的尖刺T恤我30岁的生日1989,我想即使这么多年了,我还是会说:

斯蒂芬·沃尔夫拉姆30岁生日时送给他的尖尖T恤:金宝博188正网

After Mathematica 1.2,our marketing materials had a whole collection of hyperbolic Platonic solids,but by the time版本2到了1991年,我们决定我们最喜欢的是双曲十二面体

Mathematica 2 and its Spikey,双曲十二面体

Still,我们继续探索其他“小穗虫”。灵感来源于“木模”风格达芬奇著名的二十面体绘画(具有令人惊讶的好视角)帕乔利的书德维那比例,我们委托了2.0版海报(由斯科特·金姆) showing五相交四面体使其最外层顶点形成十二面体

达芬奇的木模风格多面体艺术品和它所启发的Mathematica 2海报

今天翻阅我1991年的档案,I find some "explanatory"代码(通过)伊兰瓦迪)-很高兴看到这一切都是在我们最新的沃尔夫拉姆语(尽管现在可以写得更优美一点):

五四面体化合物的解释码,仍在用今天的Wolfram语言运行

Over the years,当我们准备启动一个Mathematica的新整数版本,我们将举行非常认真的会议来“挑选我们的新尖峰”。有时会有数百种选择,生成的(最常见的是迈克尔·特罗特)使用各种不同的算法:

Mathematica 5的一些尖峰候选人,6和7

但是,尽管颜色调色板不断发展,尖峰通常反映出(也许是以某种微妙的方式)系统中的新特征,我们已经有了30年的关于双曲十二面体变化的传统:

Mathematica Spikes(按版本)

在最近的时代,虽然现在我们已经积累了数百个参数,但是探索参数空间变得更加流线型了:

A hyperbolic dodecahedron has 20 points—ideal for celebrating the数学20周年2008。但当我们想要类似的东西25周年纪念2013年,我们遇到了这样一个问题:没有25个顶点的正多面体。但是(基本上使用球点〔25〕我们设法创建一个近似值-并为我们公司的每个人制作了一个3D打印输出,根据他们和我们在一起的时间大小:

我们为25周年纪念日制作的3D 25点Spiky,就像我们办公室的样子

输入wolfram alpha

在2009年,我们正准备发射沃尔夫拉姆阿尔法—and it needed a logo.有各种各样的概念:

Wolfram Alpha徽标的一些初步想法

我们真的想强调沃尔夫拉姆阿尔法通过计算工作(而不是just,说,搜索)And for a while we were keen on indicating this with some kind of gear-like motif.但我们也希望这个标志能让人想起我们长期以来的Mathematica标志。所以这导致了一个经典的“CEO一定是疯了”项目:用尖刺状的形状制作齿轮机构。

Longtime Mathematica and Wolfram Language user (and Hungarian mechanical engineer)ndor Kabai帮助,暗示“螺旋齿轮“:

And then,in a throwback to the Version 2 intersecting tetrahedra,他想出了办法。

Spikey of intersecting tetrahedra,由S_ndor Kabai设计

在2009年,3D printing was becoming very popular,我们认为Wolfram Alpha拥有一个易于3D打印的徽标是件好事。双曲线多面体出现了:它们的尖峰会折断,可能很危险。(类似于Mathematica版本4 Spikey,with "safety spikes",缺乏优雅。)

有一段时间我们一直在关注齿轮的想法。但最终我们决定值得再看看普通的多面体。But if we were going to adopt a polyhedron,应该是哪一个?

当然,可能有无限多个多面体。但是要做一个漂亮的标志,we wanted a symmetrical and somehow "regular"一个。The five柏拉图立体—all of whose faces are identical regular polygons—are in effect the "most regular"of all polyhedra:

The five Platonic solids

然后是13阿基米德多面体,all of whose vertices are identical,其面是正多边形,但不止一种:

The 13 Archimedean solids

人们可以想出各种各样的“常规”分类。多面体。一个例子是“均匀多面体”,作为在海报中描绘对于数学杂志1993:

均匀多面体

多年来,魏尔斯史甸在组装1999年变成的数学世界,他努力把文章写得尽可能多notable polyhedraas possible.2006,作为将各种系统数据放入Mathematica和Wolfram语言的一部分,we started including polyhedron data from MathWorld.结果是当版本62007年发布,它包括功能多面体数据其中包含了187个著名多面体的大量数据:

多面体数据,从Wolfram语言参考页

在数学和Wolfram语言中,始终可以生成规则多面体,但现在变得容易了。随着版本6.0的发布,我们还启动了沃尔夫拉姆示范项目,很快开始积累各种各样的多面体相关演示.

一个是我当时10岁的女儿凯瑟琳创作的几何相关方向“是”多面体考拉“-所有多面体都有下拉功能多面体数据[]

这就是2009年初我们想要“选择多面体”的背景。沃尔夫拉姆阿尔法。星期五晚上,一切都达到了高潮,2月6日,when I decided to just take a look at things myself.

我还有我用过的笔记本,它表明,起初我尝试了一个相当可疑的想法,把球体放在多面体的顶点上:

多面体顶点上的球体,Wolfram Alpha徽标的最初不太可能的想法

But (as the笔记本历史系统记录)不到两分钟后,我生成了纯多面体图像,全部是橙色的,我们认为我们将用于标识:

原始Wolfram Alpha徽标探索笔记本的笔记本修改历史概述窗口

Pure polyhedron images generated in search of the Wolfram|Alpha logo

多面体按名称的字母顺序排列,在第28行,there it was—the rhombic hexecontahedron:

成为Wolfram Alpha标志的菱形六面体的第一个视图

几分钟后,我回到菱形六面体上,2月7日上午12:24:24,2009,我把它旋转成我们现在使用的对称方向:

沃尔夫拉姆阿尔法菱形六面体,当第一次旋转到大致当前方向时

我想知道它在灰度或轮廓上会是什么样子,and four minutes later I used颜色分离的找出:

使用Wolfram语言的颜色分离现在的Wolfram阿尔法菱形六面体

我立即开始写一封电子邮件,在上午12:32发信:
“我……更喜欢菱形容器……
It's an interesting shape … very symmetrical … I think it might have
关于正确的复杂性……它的轮廓非常合理。”

第一封确认Wolfram Alpha徽标菱形六角体的电子邮件

很明显,我只是抄了“菱形含面体”from the label in the notebook (and I doubt I could have spelled "hexecontahedron"正确地说)事实上,从我的档案馆I know that this was the very first time I'd ever written the name of what was destined to become my all-time-favorite polyhedron.

在Wolfram语言中,很容易得到一张菱形六面体的图片来玩:

多面体数据〔多面体数据〕

PolyhedronData["RhombicHexecontahedron"]

到了星期一,很明显菱形六面体是一个胜利者,我们的艺术部门开始把它描绘成Wolfram Alpha标志。我们尝试了一些不同的方向,but soon settled on the symmetrical "head-on"我选了一个。(我们还必须找出最佳的“焦距”,尽可能缩短投影。)

Wolfram Alpha Spikey的不同旋转和焦距

就像我们的1.0版星状二十面体一样,菱形六面体有60个面。但不知何故,花形五折“花瓣”arrangements,感觉更加优雅。在二维渲染中,为了反映三维形式,需要花费大量的精力来找到最佳的面着色。但很快我们就有了我们标志的第一个官方版本:

Wolfram Alpha标志的第一个官方版本

它很快就出现在任何地方,为了迎合我们之前的想法,它经常出现在“齿轮背景”上:

最初的沃尔夫拉姆阿尔法斯派基齿轮背景

几年后,我们稍微调整了面着色,给出今天仍然存在的Wolfram Alpha标志:

当前Wolfram Alpha徽标

菱形六面体

什么是菱形六十面体?它被称为“六面体”因为它有60张脸,_ξηκοντα(hexeconta)是希腊语中表示60的词。(Yes,正确的拼写是“e”,不是“a”。)它被称为“菱形”因为它的每个面都是菱形.事实上,它的脸是金菱形,因为它们的对角线在黄金比例 phi=(1+sqrt[5])/21.618

金菱形,有短对角线1和长对角线phi

The rhombic hexecontahedron is a curious interpolation between an icosahedron and a dodecahedron (with an二十面体在中间)。菱形六面体的12个最里面的点形成一个规则的二十面体,最外面的20个点形成一个规则的十二面体。30个“中间点”形成一个二十面体,which has 32 faces (20 "icosahedron-like"三角形面,12“十二面体状”pentagonal faces):

The inner points of a rhombic hexecontahedron form an icosahedron,中间的点形成了一个二十面体。外点形成十二面体

总而言之,菱形六面体有62个顶点和120个边(以及120−62+2=60个面)。有3种顶点(“内部”,“中间”和“外”对应于二十面体的12+30+20个顶点,十二面体和十二面体。These types of vertices have respectively 3,4和5边在它们处相交。菱形六面体的每个金菱形面都有一个“内部”5条边相交的顶点,一个“外部”vertex where 3 edges meet and two "middle"vertices where 4 edges meet.The inner and outer vertices are the acute vertices of the golden rhombuses;中间的是钝角顶点。

The acute vertices of the golden rhombuses have angle 2 tan1γ1)63.43°,钝的2棕褐色1γ(116.57°)。The angles allow the rhombic hexecontahedron to be assembled from佐米托尔using only red struts (the same as for a dodecahedron):

菱形六面体的僵尸结构

穿过菱形六面体的120个边缘,60“向内铰链”有二面角4/5=144°,and the 60 "outward-facing"二面角为2/5=72°。这个立体角被内部和外部顶点所包围的是/5和3/5。

要画一个菱形六面体,一个人需要知道其顶点的三维坐标.得到这些的一个方便的方法是使用这样一个事实:菱形六面体在二十面体群,这样一个人可以从一个金菱形开始,只需应用60个矩阵that form a 3D representation of the icosahedral group.这给出了最终顶点坐标±γ,±1,0},{±1,±γ±(1)γ}{±2γ,0,0},{γ±(1±2)γ,0 },{±(1+γ±(1)γ±(1)γ}它们的循环排列,每一个可能的迹象都被采取。

除了有金菱形的脸,菱形六面体可由20个构成。金菱形(6张脸都是金菱形):

一个金菱形体,其中20个形成菱形六面体

There are other ways to build rhombic hexecontahedra out of other polyhedra.五个相交立方体能做到这一点,as can 182 dodecahedra with touching faces:

菱形六面体,由五个相交的立方体(左)和182个接触十二面体(右)的面制成。

菱形六面体不镶嵌空间。但它们确实以一种令人满意的方式相互联系(而且,yes,我见过几十张纸叠成这样):

联锁菱形六面体

There are also all sorts of ring and other configurations that can be made with them:

菱形六面体的两种可能的环构型

与菱形六面体(“rh”)密切相关的是菱形三面体(“RT”)。相对湿度和相对湿度都有金菱形的面孔。但相对湿度有60,而RT有30个。以下是单个RT的外观:

菱形三面体

RTS非常适合“口袋”在RHS中,导致这样的形式:

菱形三面体

上述S_ndor Kabai在2002年左右对Rh和Rt产生了热情。之后沃尔夫拉姆示范项目开始了,他和斯洛文尼亚数学家伊齐多尔哈夫纳最后贡献了一百多Demonstrations about RH,RT及其许多性质

许多演示中有菱形六面体和菱形三面体。

纸钉套件

As soon as we'd settled on a rhombic hexecontahedron Spikey,我们开始对它进行3D打印。(It's now very straightforward to do this withPrintout3D[多面体数据[…],还有预计算模型可在外部服务

在我们沃尔夫拉姆阿尔法发射事件2009年5月,we had lots of 3D Spikeys to throw around:

Spikeys at the Wolfram|Alpha launch

But as we prepared for the first post-Wolfram|Alpha holiday season,我们想给每个人一个方法,让他们自己的三维尖峰。起初,我们探索使用20套塑料覆盖金菱形磁铁。但是它们很贵,而且有一个习惯,就是在“尖刺的鳞片”上不能很好地粘在一起。

所以我们想到用纸做一个钉子,或者薄纸板。我们的第一个想法是创建一个网络可以折叠成尖刺状:

菱形六面体的第一网

我女儿凯瑟琳是我们的测试文件夹(仍然有创建的对象)。but it was clear that there were a lot of awkward hard-to-get-there-from-here situations during the folding process.有大量的可能的网络(已经有43380个甚至十二面体小精灵)-我们认为也许可以找到一个更好的方法:

A couple of other rhombic hexecontahedron nets

但在找不到这样的网之后,然后我们有了一个新的想法(如果很明显的话):因为最终的结构无论如何都会被标签连接在一起,为什么不把它做成多块呢?我们很快意识到这些作品可能是12个相同的副本:

Twelve of these pieces can form a rhombic hexecontahedron,our Spikey

有了这个,我们就能创造出纸雕塑套装“:

Wolfram纸雕塑套装及其配套纸钉

使指令易于理解是一个有趣的挑战,but after a few iterations they're now well debugged,and easy for anyone to follow:

Wolfram纸雕工具包说明书的演变

在纸针的循环中,我们的用户开始向我们发送各种各样的Spikeys“定位”图片:

一些人用他们的Wolfram纸雕塑工具包制作的Spikes照片

菱形六面体的路径

A polyhedral die from ancient Egypt还不清楚是谁首先识别了柏拉图固体。也许是Pythagoreans(尤其是生活在多面体附近黄铁矿晶体)也许是他们很久以前的某个人。或者它可能是同时代的柏拉图的名字Theaetetus.但无论如何,到柏拉图时代(≈公元前400年)我们知道有五个柏拉图固体。当欧几里得写下他的Elements(大约公元前300年)也许它的顶峰证明了这五个都是可能的。(这一证据尤其是采取最多的步骤-三十二-从最初的公理Elements

Platonic solids were used for dice and ornaments.But they were also given a central role in thinking about nature,以柏拉图为例,他认为也许在某种意义上,一切都可以由它们构成:立方体的地球,八面体的空气,二十面体水,四面体之火,以及十二面体的天堂(“以太”)。

But what about other polyhedra?公元4世纪,小精灵几个世纪前,阿基米德发现了13个其他的“正多面体”——大概是现在所说的阿基米德多面体-尽管细节不见了。一千年来,多面体的研究似乎只多了一点。但在14世纪,随着文艺复兴的兴起,多面体又突然流行起来了。People like达芬奇阿尔布雷克特·D·雷尔 经常使用它们在艺术和设计方面,rediscovering some of the Archimedean solids—as well as finding some entirely new polyhedra,像二十面体.

但是多面体的最大进步是克卜勒在16世纪初。一切都从优雅开始,如果完全错误,理论。神学上认为宇宙必须以数学上的完美来构建,开普勒建议当时已知的六颗行星可能会在几何上排列的嵌套球体上移动,以便正好与它们之间的五个柏拉图固体相匹配:

开普勒提出了行星运动的概念,嵌套球体和柏拉图固体,为了他的书

在他1619年的书中宇宙的和谐“世界的和谐”开普勒认为音乐的许多特点,planets and souls operate according to similar geometric ratios and principles.And to provide raw material for his arguments,开普勒研究了多边形和多面体,特别有兴趣找到以某种方式形成完整集合的物体,就像柏拉图的固体。

他研究了可能的“社交多边形”,一起可以破坏飞机的发现,for example,his "怪物瓷砖“(五边形,五芒星和十芒星)。他学习“星体多面体“发现了各种各样的柏拉图固体恒星(实际上开普勒-波因斯特多面体)1611年,他出版了small book关于雪花的六边形结构,作为新年礼物送给他的赞助人。在这本书中他讨论了球体的三维填充(和球形原子)这就是现在所说的开普勒包装(通常在杂货店的水果包装中看到)是最密集的包装(事实并非如此正式证明直到2000年代,在Mathematica的帮助下)。

开普勒的各种包装中潜伏着多面体。从任何球体开始,然后看看它的邻居,把它们的中心连接起来,形成多面体的顶点。开普勒最密集的包装,有12个球体接触到任何给定的球体,一个人得到的多面体是立方面体,有12个顶点和14个面。但开普勒也讨论了另一种包装,8%密度较低,其中8个球体接触到一个给定的球体,而6家公司就要这样做了。Joining the centers of these spheres gives a polyhedron called therhombic dodecahedron,有14个顶点和12个面:

隐藏在开普勒包装中的菱形十二面体。

发现了这个,开普勒开始寻找其他的“菱形多面体”。他发现的菱形十二面体有由一对等边三角形组成的菱形。但到了1619年,开普勒还发现了金菱形,并发现了菱形三面体。在他的照片里画了一张很好的照片,在菱形十二面体旁边:

菱形三面体和其他多面体,as drawn by Kepler for his book

开普勒实际上立即申请了这些菱形多面体:他想使用它们,和立方体一起,to make a nested-spheres model that would fit the orbital periods of the伽利略在1610年发现的木星的四个卫星.

开普勒为什么没有发现菱形六面体?我觉得他很亲近。他看着非凸形的“星星”多面体。他看着菱形多面体。但我猜他的天文学理论他对菱形三面体很满意,再也看不到了。

In the end,当然,它是开普勒定律-这与开普勒对天文学的主要贡献多面体无关。但是开普勒关于多面体的研究,尽管是为一个被误导的物理理论而做的,仍然是对数学的永恒贡献。

在接下来的三个世纪里,更多多面体,以各种形式的规律性,逐渐被发现,到20世纪初许多数学家都知道

麦克斯·布赖克纳1900年著作中的极面体

但是,据我所知,菱形六面体不在其中。相反,它的发现必须等待某个赫尔穆特·昂克尔巴赫.出生于1910,他于1937年在慕尼黑大学获得数学博士学位(在最初学习物理之后)。他写了几篇关于保角映射的论文,也许是通过研究多面体域的映射,在1940年出版了(in German) about "The Edge-Symmetric Polyhedra".

他的目标,他解释说:是要详尽地研究所有可能满足特定的多面体,虽然新的,规则性的定义:它们的边都是相同的长度,这些边都位于多面体的对称平面上。The main result of his paper is a table containing 20 distinct polyhedra with that property:

unkelbach的多面体表点击放大

大多数多面体unkelbach知道已经知道了。But Unkelbach singles out three types that he thinks are new: two hexakisoctahedra (or十二面体)两个六面体(或三面体发育不全)他称之为朗姆本西科塔德,or in English,菱形六面体。他很清楚地认为菱形六面体是他的奖品样本,包括他制作的模型的照片:

Unkelbach's model of a rhombic hexecontahedron,

How did he actually "derive"菱形六面体?基本上,他从十二面体开始,and identified its two types of symmetry planes:

The two types of symmetry planes in a dodecahedron

然后他细分了十二面体的每一面:

十二面体面的细分

然后他基本上考虑将每个面的中心向内或向外推到一个指定的倍数。α通常与十二面体中心的距离:

十二面体,其表面被不同的特定倍数推入或推出,以0.5的倍数,结果精确的菱形六面体

Forα< 1,生成的面不相交。但对于大多数价值观α,they don't have equal-length sides.That only happens for the specific case-在这种情况下,得到的多面体就是菱形六面体。

实际上,Unkelbach把他的1940年的论文看作是对更一般性研究的一种热身。”K-对称多面体”对称性要求更宽松。但在第二次世界大战开始后,一本数学杂志在德国出版,这已经足够引人注目了。报纸之后不久,Unkelbach被卷入了战争,在接下来的几年里为德国海军设计声自导鱼雷。

Unkelbach再也没有在多面体上发表过,1968年去世。战后,他又回到了保角映射的领域,但也开始发表关于数学投票理论是建立一个运转良好的民主的关键的观点,数学家有责任确保它被使用。

But even though the rhombic hexecontahedron appeared in Unkelbach's 1940 paper,它很可能永远在那里消逝,不是因为1946年H.S.M(唐纳德)考克斯特为(相当新的)美国人写了一篇论文的简短评论数学评论.他的评论列出了论文中提到的多面体,就像一个博物学家可能在探险中发现的新物种一样。最高点是他所说的“一个非凡的菱形六面体”,他报告说“它的表面与三面体的形状相同,of which it is实际上是恒星“。

多面体并不是20世纪中期数学中的热门话题,但科克塞特是他们的主要支持者,并以某种方式与几乎所有从事这方面工作的人联系在一起。1948年,他出版了他的书。Regular Polytopes.It describes in a systematic way a variety of families of regular polyhedra,特别是显示巨大的星状三面体(或great rhombic triacontahedron)-它有效地包含一个菱形六面体:

大星状三面体(或大菱形三面体)

But Coxeter didn't explicitly mention the rhombic hexecontahedron in his book,虽然它从多面体爱好者那里得到了一些提及,菱形六面体仍然是一个基本上不明显(有时拼错)的多面体。

准晶体

晶体一直是多面体的重要例子。但是到了19世纪,随着原子理论的日益确立,开始对晶体学,and of how atoms are arranged in crystals.Polyhedra made a frequent appearance,特别是代表晶体中原子重复块的几何结构(“单位单元”)。

到1850年,人们知道基本上只有14种可能的几何结构;其中一个是基于菱形十二面体的。这些几何图形的一个显著特征是它们都有特定的两个-三,四六倍对称性,本质上是由于某些多面体可以镶嵌空间,与二维一样,唯一能平铺平面的正多边形是正方形,三角形和六边形。

但是对于非晶材料呢?像液体还是玻璃?自20世纪30年代以前,人们就开始怀疑,在那里是否至少存在大约五倍的对称性。不能用规则的二十面体(具有五重对称性)来镶嵌空间,但也许你至少可以有二十面体区域之间的间隙很小。

当20世纪80年代早期在快速冷却的铝锰材料有效地显示出五重对称性。有already theories关于如何实现这一目标,几年之内,还出现了形状像菱形三面体的颗粒的电子显微镜照片:

显示菱形三面体结构的准晶准晶体显示菱形三面体结构

当人们想象这些三面体如何组合在一起时,菱形六面体很快出现了-作为一个“洞”in a cluster of 12 rhombic triacontahedra:

菱形六面体

起初,它被称为“20支恒星”。但很快与多面体文献建立了联系,它被鉴定为菱形六面体。

与此同时,用菱形元素制作东西的整个想法正引起人们的注意。迈克尔·朗格特·希金斯,长期海洋学家和风浪专家,跳上风车,in 1987 filing专利对于一个基于磁性菱形块的玩具,那可以成为“开普勒之星”(菱形六面体)或“开普勒球”(菱形三面体):

朗格特·希金斯为一种磁性菱形块玩具申请了专利。

虽然我只是发现了这个,我们在2009年考虑的菱形块,广泛的“尖峰制造”实际上是由右旋数学玩具(阿卡菱形网)在圣地亚哥的朗格特·希金斯的家里工作。

关于什么能成功地细分空间甚至是平铺平面的整个问题-is a complicated one.事实上,一组特定形状是否可以排列成平铺平面的一般问题已经知道了从20世纪60年代初开始就正式无法决定。(有人可能会验证这些形状中的1000个可以组合在一起,but it can take arbitrarily more 金宝博188投注computational effort to figure out the answer for more and more of the shapes.)

像开普勒这样的人可能会假设一组形状将要平铺在飞机上,他们必须能够以一种纯粹重复的模式做到这一点。但随着人们认识到一般的瓷砖问题是无法解决的,罗杰·彭罗斯in 1974 came up with two shapes that could successfully tile the plane,但不是重复的。1976年彭罗斯(以及罗伯特阿曼)提出了一个稍微简单一点的版本

彭罗斯和安曼简单的菱形瓷砖

而且,yes,这里的形状是菱形的,虽然不是金菱形。但角度为36度、144度和72度、108度,they arrange with 5- and 10-fold symmetry.

通过施工,这些菱形(或,more strictly,shapes made from them)不能形成重复的模式.但事实证明,它们可以形成一个系统化的模式,nested way:

菱形组成一个系统,嵌套模式

而且,yes,在这个序列的步骤3的中间看起来很像我们的扁平的小穗。但这并不完全正确;外菱形的纵横比关闭。

But actually,仍然有密切的联系。不是在飞机上操作,想象从菱形三面体的一半开始,由金色菱形制成,3D:

Half a rhombic triacontahedron

从上面看,it looks exactly like the beginning of the nested construction of the Penrose tiling.如果有人继续前进,一个得到了彭罗斯瓷砖:

Penrose瓷砖的3D版本-一个Wieringa屋顶,从半个菱形三面体开始(顶视图)

从侧面看在3D中,我们可以看出它仍然是相同的金菱形:

3D version of Penrose tiling—a Wieringa roof—starting from half a rhombic triacontahedron (side view)

放四个“wieringa屋顶”总之,我们可以精确地形成菱形六面体:

Four of these Wieringa roofs together exactly form the rhombic hexecontahedron

但是这些嵌套结构和物理准晶形成的实际方式有什么关系呢?还不清楚。But it's still neat to see even hints of rhombic hexecontahedra showing up in nature.

And historically it was through their discussion in quasicrystals that Sándor Kabai came to start studying rhombic hexecontahedra with Mathematica,反过来又让埃里克·韦斯斯坦发现了他们,这反过来又导致他们在数学和沃尔夫拉姆语言中,这反过来又让我为我们的商标选了一个。认识到这一点,我们把嵌套的彭罗斯瓷砖印在我们的内部纸钉

在Wolfram纸雕塑工具包的每一件作品背面嵌套构造的Penrose瓷砖

压扁小穗

我们的沃尔夫拉姆阿尔法史派基在2009年随着沃尔夫拉姆阿尔法的发布突然出现在现场。但我们仍然有我们的长期和逐步发展的数学尖峰。因此,当我们在2011年建立一个新的欧洲总部时,我们不仅拥有一个,但有两个斯派克人在争抢。

我们的长期艺术总监杰里米·戴维斯想出了一个解决办法:拿一个尖头,但“理想化”它,只使用它的“骨架”。决定从菱形六面体开始并不难。But then we flattened it (with the best ratios,of course)—and finally ended up with the first implementation of our now-familiar logo:

Flattened Spikey on the Wolfram Research Europe Ltd.总部

巴西惊喜

当我开始写这篇文章时,I thought the story would basically end here.After all,我现在已经描述了我们如何选择菱形六面体,以及数学家最初是如何提出这个问题的。但在完成之前,我想,“我最好把这些年来收到的关于斯派克的所有信件都看一遍,只是为了确保我没有遗漏任何东西。”

就在那时,我注意到2009年6月的一封电子邮件,来自巴西一位名叫约兰达·西普里亚诺.她说她见过article关于沃尔夫拉姆阿尔法在巴西的一家新闻杂志上,注意到了斯派克,想指出我她的网站.九年多过去了,但我还是跟着链接走了,and was amazed to find this:

Yolanda Cipriano的菱形六面体网站,那里叫

I read more of her email: "Here in Brazil this object is called ‘Giramundo' or ‘Flor Mandacarú' (Mandacaru Flower) and it is an artistic ornament made with [tissue paper]".

什么?!巴西有一个尖锐的传统,这么多年来我们都没听说过?我很快在网上找到了其他图片。只有几个钉子是用纸做的;most were fabric—but there were lots of them:

Lots of fabric rhombic hexacontahedra

我给一个巴西朋友发了邮件,他曾致力于Wolfram Alpha的最初开发。他很快回答说:“这些确实是我们熟悉的物品……令我感到遗憾的是,我从来没有足够的好奇心来连接这些点。”然后,他给我寄来了当地工艺美术品目录上的照片:

巴西工艺美术品目录中的布钉

但现在狩猎开始了:这些东西是什么?他们从哪里来?我们公司的一位志愿者说,实际上她在智利的曾祖母是用钩针编织的,而且总是带着尾巴。我们开始联系那些贴了“民歌”照片的人。on the web.他们通常只知道从一家旧货店买的。但有时人们会说他们知道如何制造它们。故事似乎总是一样的:他们从他们的祖母那里学会了怎么做。

The typical way to build a folk Spikey—at least in modern times—seems to be to start off by cutting out 60 cardboard rhombuses.下一步是用织物把每个菱形包起来,最后把它们缝在一起:

Building a folk Spikey

好啊,但这里有一个直接的数学问题。Are these people really correctly measuring out 63° golden rhombuses?答案通常是否定的。Instead,they're making 60° rhombuses out of pairs of equilateral triangles—just like the standard diamond shapes used in quilts.那么,小穗是如何组合在一起的呢?好,60°离63°不远,and if you're sewing the faces together,有足够的回旋空间,即使没有精确的角度,也很容易使多面体接近。(There are also "quasi-Spikeys"就像在Unkelbach的建筑中,脸上没有菱形,but instead have pointier "outside triangles".)

Folk Spikeys on the web are labeled in all sorts of ways.最常见的是“giramundos”。But quite often they are called "Estrelas da Felicidade"(幸福之星)。令人困惑地,其中一些也被标记为“摩拉维亚恒星”——但实际上,摩拉维亚恒星是不同的更尖的多面体菱形立方八面体)这是最近才流行起来的,尤其是对于灯具.

尽管做了很多调查,我还是不知道“民谣”的完整历史是。但这是我迄今为止发现的。第一,至少在斯派克的民间传统中幸存下来的是以巴西为中心的(尽管我们有一些关于其他现象的故事)。第二,传统似乎相当古老,definitely dating from well before 1900 and quite possibly several centuries earlier.据我所知,与民间艺术一样,这是一种纯粹的口头传统,到目前为止,我还没有找到任何关于它的真实历史文献。

我最好的信息来自保拉格拉,她十年前在一个历史悠久的小镇经营一家以旅游为导向的咖啡馆,卖民谣。S_o Lu_z do Paratinga.她说人们会从巴西各地来到她的咖啡馆,see the folk Spikeys and say,“我50年没见过这样的人了……”

Paula herself learned about folk Spikeys (she calls them "stars") from an older woman living on a multigenerational local family farm,who'd been making them since she was a little girl,她妈妈教她怎么做。Her procedure—which seems to have been typical—was to get cardboard from anywhere (originally,things like hat boxes),然后用织物碎片覆盖它,通常是从衣服上,then to sew the whole perhaps-6″-across object together.

斯派克人多大了?好,我们只有口头的传统。但我们已经追查了几个人,他们看到了1900年左右出生的亲戚制作的民间小穗。保拉说,十年前,她遇到了一位80岁的老太太,她告诉她,当她在一个有200年历史的咖啡农场长大时,那里有一架子四代女人的民间小穗。

至少有一部分民间尖刻的故事似乎围绕着母女传统。母亲们,据说,often made folk Spikeys as wedding presents when their daughters went off to get married.典型的主食是由衣服碎片和其他能让女儿想起童年的东西制成的,有点像是现代孩子上大学时被子的制作方法。

But for folk Spikeys there was apparently another twist: it was common that before a Spikey was sewn up,a mother would put money inside it,供她女儿在紧急情况下使用。然后,女儿会把针线活放在针线活里,在她丈夫不太可能接电话的地方。(一些小穗似乎被用作针状物,可能为它们被拾起提供了额外的抑制因素。)

What kinds of families had the folk Spikey tradition?从1750年开始,巴西农村有许多咖啡和糖种植园,远离城镇。直到1900年,这些种植园的农民从遥远的城镇得到新娘的年龄通常只有13岁。也许这些新娘来自葡萄牙富裕家庭,而且往往是受教育比较好的来与民间小穗。

In time the tradition seems to have spread to poorer families,主要保存在那里。But around the 1950s—presumably with the advent of roads and urbanization and the move away from living on remote farms—the tradition seems to have all but died out.(然而,在巴西南部的乡村学校,20世纪50年代的女孩们显然是在美术课上被教导如何制作带有开口的民间小穗,以便用作储钱罐。)

Folk Spikeys seem to have shown up with different stories in different places around Brazil.在南部边境地区(阿根廷和乌拉圭附近),显然有一个传统,那就是“圣保罗之星”。米格尔“(又名民间斯派克)是在乡村由疗愈妇女(又名“女巫”)制作的,他们应该在缝指甲的时候考虑被治疗者的健康。

在巴西的其他地区,民间的小穗有时似乎是指花和水果的名字,看起来有点相似。在东北部,“花曼达卡”(after flowers on a仙人掌)在热带湿地,“杨桃”(after星果)在中部森林地区,“Pinda_va”(之后)尖果

Some of the flora from which folk Spikeys get their local names: flowers on a mandacaru cactus,星果和松花果

But the most common current name for a folk Spikey seems to be "Giramundo"—an apparently not-very-recent Portuguese constructed word meaning essentially "whirling world".斯派克人,it seems,被当作一种魅力,它在风中旋转,本该带来好运的。添加尾部似乎是最近的,但很明显,在房子里挂起民谣是很常见的,尤其是在节日的时候。

通常不清楚什么是原创的,最近的传统是什么?民间Spikeys。在三个国王节游行(如圣经中的三个国王)中São Luiz do Paraitinga,民间斯派克显然是用来表示伯利恒之星,但这似乎只是最近的事,definitely not indicative of some ancient religious connection.

我们发现了一些民间派克在艺术展览中出现的例子。One was in a1963展览关于建筑师组织的巴西东北部民间艺术丽娜·柏巴蒂.The other,这是我见过的最大的3D Spiky,是在1997展览建筑师和布景设计师的作品佛罗里达州IMP里约

一个巨大的3D Spikey在一个fl_vio imp_rio展览上

那么……斯派克人是从哪里来的?我还是不知道。它可能起源于巴西;它可能来自葡萄牙或欧洲其他地方。织物和缝纫的中心用途,需要使“60°的尖刺”工作可能会反对美洲印第安人或非洲血统。

一位现代的尖尖工匠说,她的曾祖母,谁制造的民间尖刺,并在19世纪晚期出生,来自罗马尼亚地区意大利。(also said she learned about folk Spikeys from her French-Canadian grandmother.) And I suppose it's conceivable that at one time there were folk Spikeys all over Europe,但他们在几代人前就已经灭绝了,因此没有口述的传统流传下来。Still,当大量多面体出现时,for example,在早期的欧洲绘画中,我不知道他们中间有一个小穗。(我也不知道历史伊斯兰艺术

但最终我很确定,在某个地方,斯派克家族的起源是单一的。这不是我怀疑不止一次被发明出来的东西。

我不得不说我去了“艺术起源的狩猎”before.其中一个更成功的是寻找第一个嵌套(sierpi_ski)模式—which最终把我带到了意大利一个教堂的地窖,where I could see the pattern being progressively discovered,在1200年后签署的石头马赛克。

到目前为止,这种刺状物被证明更难被发现,而且它似乎已经被探索过的主要媒介与织物有关,这当然没有帮助。这和斯通的做法不一样。

斯派克斯复活了

不管它的最终起源是什么,斯派克为我们提供了一个强大和尊严的标志。但有时让斯派克“复活”是很有趣的——多年来,我们制作了各种“人格化的斯派克”。各种用途:

Spikeys come to life

When you use沃尔夫拉姆阿尔法,它通常会显示出它的正常,几何尖峰。但有时您的查询会使尖峰的“复活”——就像它对pi查询所做的那样圓周率日

永远的钥匙

多面体是永恒的。你在500年前的照片中看到一个多面体,它看起来就像今天我电脑里的多面体一样干净和现代。

我一生中有相当一部分时间都在寻找抽象,金宝博188投注计算事物(思考细胞自动机模式)他们也有永恒。但是尽我所能去尝试——我没有为他们找到多少历史线索。作为抽象对象它们可以随时创建.但事实上它们是现代的,创建原因是概念框架我们现在有,并与工具我们今天见过,以前从未见过。

多面体既有永恒性,又有数千年的悠久历史。在他们的外表上,多面体让我们想起了宝石。And finding a certain kind of regular polyhedron is a bit like finding a gem out in the geometrical universe of all possible shapes.

菱形六面体是一种奇妙的宝石,在我探索它的特性时,我对它更加感激。但它也是一块有着人类故事的宝石-金宝博188正网斯蒂芬·沃尔夫拉姆和斯派基看到像多面体这样抽象的东西是如何把世界各地的人与如此不同的背景和目标联系起来的,真是太有趣了。

谁最先想到的菱形六面体?我们不知道,也许我们永远不会。但现在它在这里,这是永远的。我最喜欢的多面体。


帮助传播刺客主义! 尖峰纸雕塑套装可从Wolfram商店购买。整理好你的照片寄给我们( 推特脸谱网email)!

金宝博188.显示全部

  1. 12版什么时候发布?

    什么时候?
  2. 这本书读得很好!

    伟大的故事,

    谢谢

    威尔
  3. Just amazing story again.谢谢分享。

    马立克
  4. 祝你好运,在去哈尔的路上,我们需要这样的智慧来创造艺术,诗歌,music and to learn talk with each other for example:)

隐藏注释»金宝博188

?斯金宝博188正网蒂芬·沃尔夫拉姆,LLC | 条款γ RSS