来自2007的帖子

Mathematics,数学软件and Certainty

(这篇文章最初发表在Wolfram Blog.)

一般媒体对数学基础问题的报道不多,但今天下午,我发现自己正在和一位记者谈论数学中的确定性问题。

这是一次非常有趣的谈话,so I thought I'd write here about a few things that came up.

Mathematics likes to think of itself as a very certainty-based business.如果你“用数学证明了某件事”,then it's supposed to just be true.没有IFS或BUTS。Complete certainty.

但在实践中,这并不完全是它的工作方式,至少是传统上数学的工作方式。因为事实上,人们在报纸上发表的数学证明更具社会性。它是一种工具,可以说服其他人类,一个数学家的同事,相信某些事情是真的。

在过去的大约一个世纪里,已经出版了几百万份数学证明。基本上,所有这些都是用一种人类兼容的数学形式主义和普通自然语言的混合物写的。

它们是供人食用的。For people to read,and process.其中最好的不只是一些特定定理的论证。相反,它们是阐明整个数学结构的解释。

但不可避免地,它们需要努力阅读。这不仅仅是机械问题。Instead,每一个证据的读者都必须以某种方式将证据所说的内容映射到他们特定的思维模式中。这样他们个人就可以确信证据是真实的。

当然,在实践中,人类所写的证据有漏洞。Somewhere between the imprecision of ordinary language,and the difficulty of really thinking through every possible eventuality,几乎不可避免的是,任何发表的长期证据都是不完美的。即使有一大群人来检查它,并不是每个错误都会被发现。

So how do computers—and数学软件更改此图片?

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简单的图灵机,Universality,Encodings,等。

(这篇文章最初发表在NKS Forum.)

以下是我在Math(FOM)邮件列表的基础上对Wolfram 2,3 Turing Machine Prize.Though much of what I say is well understood in the NKS community,我想它在这里可能还是有意思的。


有几个人把这封信上关于图灵机器奖的线索转发给我。

我很高兴看到它激发了讨论。也许我可以说几句话。

我们从简单的通用图灵机中学到什么?

John McCarthy wrote:

在20世纪50年代,我认为最小的(符号状态产品)通用图灵机可以告诉一些关于计算性质的事情。不幸的是,它没有。

I suspect that what was imagined at that time was that by finding the smallest universal machines one would discover some "spark of computation"—some critical ingredient in the rules necessary to make universal computation possible.(At the time,可能还有“生命的火花”或者“智慧的火花”可以在系统中找到。)

I remember that when I first heard about universality in the Game of Life in the early 1970s,我认为这并不特别重要;这似乎只是一个聪明的黑客。

但几十年后,建立了整个框架一种新的科学,I have a quite different view.继续阅读

得奖了;The Simplest Universal Turing Machine Is Proved

(奖品主页:WOLFRAM 2,3图灵机研究奖

“尽管毫无疑问很难证明,看来这部图灵机器最终将是通用的。”

所以我写了第709页属于一种新的科学(NKS).

我在计算宇宙中搜索了最简单的宇宙金宝博188投注Turing machine.我找到了一个候选人,我的直觉告诉我很可能是普遍的。但我不确定。

And so as part of commemorating the fifth anniversary of一种新的科学今年5月14日,我们announceda25000美元奖金用于确定该图灵机是否实际上是通用的。

I had no idea how long it would take before the prize was won.一个月?A year?A decade?A century?Perhaps the question was even formally undecidable (say from the usual axioms of mathematics).

But today I am thrilled to be able to announce that after only five months the prize is won—and we have answer: the Turing machine事实上是普遍的!

亚历克斯史密斯,伯明翰20岁的大学生,英国已经制作了40页的校样。

I'm pleased that my intuition was correct.But more importantly,我们现在有了另一个证据Principle of 金宝博188投注Computational Equivalence(PCE)我介绍的一种新的科学.

我们也正处在一个跨越半个多世纪寻找最简单的通用图灵机的探索的终点。

在这里。只有两种状态和三种颜色。And able to do any computation that can be done.

2,3图灵机

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我的业余爱好:探索宇宙

(这篇文章最初发表在Wolfram Blog.)

这些天我没有太多时间爱好,但偶尔我会放纵一下。几天前,我做了一个视频会议,谈论我最喜欢的爱好之一:寻找物理学的基本定律。

物理是我的第一个领域(事实上,我成为a card-carrying physicist when I was a teenager).当它发生时,the talk I just gave (for the欧洲随机几何网络)是我一个老朋友组织的物理合作者.

Physicists often like to think that they're dealing with the most fundamental kinds of questions in science.But actually,what I realized back in 1981 or so is that there's a whole layer underneath.

There's not just our own physical universe to think about,但整个宇宙都有可能存在。

如果要做理论科学,最好是处理一些明确的规则。但问题是:什么规则?

现在我们有一个很好的方法来参数化可能的规则:尽可能的计算机程序。And I've built a wholescienceout of studying the universe of possible programs–and have discovered that even very simple ones can generate all sorts of rich and complex behavior.

好,that's turned out to be relevant in modeling all sorts of systems in the physical and biological and social sciences,在发现有趣的技术方面,等等。

But here's my big hobby question: what about our physical universe?它能按照这些简单的规则操作吗?

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所有可能的桥梁形状的空间

(这篇文章最初发表在Wolfram Blog.)

当我听说星期三的桥倒塌时,我立刻想知道我所研究的任何科学是否有任何帮助。

桥梁设计是传统数学科学的经典几乎标志性的成功之一。

当我第一次谈到一种新的科学,一个并不罕见的反应是,“但它能帮助建造更好的桥梁吗?”

好,as a matter of fact,我很怀疑是可以的。

Bridges have a long history.早些时候,只有少数类型似乎已经被使用。But with the arrival of iron structures in the 1800s there was a kind of "Cambrian explosion"不同类型的桁架桥:

桥梁结构

But what is the very best bridge structure,从稳健性的角度来说?There's a huge universe of possibilities.但到目前为止,only a tiny corner has been explored–and that mostly in the 1800s.

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科学:生活和公众

(这篇文章最初发表在Wolfram Blog.)

我们的2007NKS暑期学校大约两周前开始的,and one of my roles there was to show a little of howNKS完成了。

过去,在任何一种生活方式下展示这都是非常不现实的。But with computer experiments,and especially with数学软件,that's changed.And now it's actually possible to make real discoveries in real time in front of live audiences.

我做了几十次“现场实验”现在(here是2005年的一份报告)。My scheme is as follows.在实况实验前几小时到几分钟,我提出了一个我很确定以前没有研究过的话题。然后我要确保在我真正面对现场观众之前,不要去想它。

然后,一旦实验开始,我发现东西的时间有限。Just by running数学软件.最好是在观众的帮助下。偶尔也能从网上的参考资料中得到一些帮助。

每一次现场实验都是一次冒险。几乎每一次,在中间点附近,事情看起来很糟。我们试过很多东西。我们已经打开了很多线程。但什么都没有。

But then,不知何故,things almost always manage to come together.我们设法发现了一些东西。这通常很有趣。(根据我在第一所暑期学校做的现场实验,现在仍有论文发表,回到2003

I usually make my first live experiment at each Summer School be a piece of "pure NKS": an abstract investigation of some simple program out in the 金宝博188投注computational universe.

今年我决定去看一个“老栗子”。我最近被提醒的是:一个简单的程序(尽管当时不这么认为),它实际上是在1920年第一次被调查。
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Today We Put a Prize on a Small Turing Machine

(这篇文章最初发表在Wolfram Blog.)

或许具有讽刺意味的是,在发布了可能是有史以来最复杂的计算系统的两周之后,金宝博188投注我们今天宣布prizefor the very simplest of 金宝博188投注computational systems.

But today is the第五周年出版的一种新的科学,and to commemorate this,我们决定成立第一个NKS奖。

The prize is related to a core objective of the basic science of NKS: to map out the abstract universe of possible 金宝博188投注computational systems.

We know from NKS that very simple programs can show immensely complex behavior.在NKS的书中,我把Principle of 金宝博188投注Computational Equivalence这就解释了这个发现。

这一原则有许多预测。其中之一是,即使在具有非常简单规则的系统中,通用计算能力也能够通用计算。

今天的CPU有数百万个组件。But the Principle of 金宝博188投注Computational Equivalence implies that all kinds of vastly simpler systems should also support universal computation.

NKS的书已经给出了几个戏剧性的例子。但该奖项的目的是确定一种特别经典的计算系统(图灵机)的通用计算边界。金宝博188投注
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五年一种新的科学

(这篇文章最初发表在Wolfram Blog.)

新技术往往是推动新科学创造的动力。所以一直以来数学软件.

One of the main reasons I originally started building数学软件是我想自己用的。

并且拥有数学软件was a bit like having one of the first telescopes: I could point it somewhere,立即看到各种从未见过的新事物。

发现了很多数学软件几乎在科学的各个领域。

但是我特别感兴趣的是创造一种新的科学数学软件:基于探索计算宇宙的科学。金宝博188投注

We are used to creating computer programs for particular purposes.但作为一门基础科学,我们可以询问所有可能的程序的宇宙。

数学软件it becomes easy to explore this.

四分之一个世纪前,我开始了对计算宇宙的探索,发现了一些非凡的现象。金宝博188投注

然后,什么时候?数学软件建成,我回到过去,开始了对计算宇宙的系统研究。金宝博188投注

结果是显著的。无论我到哪里,即使是在最简单的程序中——我看到了各种复杂有趣的行为。从我发现的情况来看,我可以在各种领域的一系列长期存在的问题上取得进展。

11年来,我一直致力于开发这个系统。And finally,5月14日,2002,我把我的所作所为发表在我的书上一种新的科学.

Today is the fifth anniversary of that event.
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今天,数学软件被改造

(这篇文章最初发表在Wolfram Blog.)

数学软件1.0于6月23日发布,1988年,近19年前。And normally,19年后,pretty much all one expects from software products is slow growth and incremental updates.

但是在很多事情上,数学软件today just became a big exception.

有人说过数学软件甚至不应该被称为”数学软件“完全。它是一种全新的、与众不同的东西,应该给它取一个完全不同的名字。

好,也许我太感情用事了。Or too steeped in history.或者太幼稚的品牌。但对我来说别无选择。这归功于过去20年来我们所建立的所有基础,我们仍然称之为我们今天所建立的。”数学软件."

Realistically,我想十年后数学软件1.0 just to realize what a powerful thing we had in数学软件.

我们一直在谈论”symbolic programming”,它如何让我们统一许多不同的想法和领域。But sometime around the mid-1990s it began to dawn on us just what an amazing thing symbolic programming actually is.

我们开始认为,如果人们真的用符号编程尽一切所能的话,在计算上可能达到一个全新的水平。

好,that was an intellectual challenge we couldn't resist.大约十年前,we embarked on seeing just what might be possible.
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